دنیای علم

فیزیک . شیمی . ریاضی . زیست

(cached)

سری فوریه ، روشی در ریاضیات می‌باشد که به وسیله آن ، هر تابع متناوبی به صورت جمعی از توابع سینوس و کسینوس می‌تواند نوشته شود. نام این قضیه به اسم ریاضیدان فرانسوی ، ژوزف فوریه ثبت شده است.

در نظریه سریهای فوریه نشان داده شده است که اگر (f(x در شرایطی مثل (شرط دیریشله) صدق کند، می‌توان آن را به صورت سری هماهنگی به شکل:

بسط داد و اینکه در نقاط ناپیوستگی سری سمت راست رابطه فوق برابر مقدار متوسط است. ضرایب a_n و b_n را می‌توان با استفاده از روابط متعامد:

ادامه مطلب

نظرات ()

سری هارمونیک

پنجشنبه 27 بهمن 1390

نوع مطلب :ریاضیات، حساب، دنباله،

سری هارمونیک

سری نامتناهی

را سری هارمونیک یا همساز می گویند. علت نامگذاری این سری به این عنوان به این دلیل است که طول موجهای حاصل از ارتعاش های یک تار مرتعش با نسبت های

متناسب است. این سری اگرچه به کندی افزایش می یابد اما از دسته سریهای واگرا است و حاصل آن بینهایت است.

اثبات واگرایی سری هارمونیک:

برای اثبات همگرایی این سری می توان جملات آن را به این صورت نوشت:

مجموع جملات در هر گروه بزرگتر از

است و چون تعداد گروهها که مجموع جملاتشان بزرگتر از

است نامتناهی است مجموعه جزیی سری از هر عدد دلخواه بزرگتر می شود. پس این سری همگرا نمی باشد.

این اثبات به نیکُل اورسم(Nicole d'Oresme) منسوب است. وی اولین فردی بود که در مورد واگرایی سری هارمونیک اثباتی را ارائه داد، اما این اثبات برای قرنها گم نام باقی ماند. بعد از او به ترتیب پیترو منگُلی(Pietro Mengoli) در سال 1647، یوهان برنولی(Johann Bernoulli) در سال 1687و بعدها یاکوب برنولی(Jakob Bernoulli)، اثباتهایی برای واگرایی این سری ارائه کردند. البته با استفاده از آزمونهای همگرایی سریها از جمله آزمون انتگرال هم می توان واگرایی این سری را نشان داد.

همچنین در شکل نمودار تعییرات مقدار سری بر حسب تعداد جملات را مشاهده می کنید. مشاهدی می شود این سری هر چند کند، در نهایت به سمت بینهایت میل می کند.

ادامه مطلب

نظرات ()

مفهوم دنباله

پنجشنبه 27 بهمن 1390

نوع مطلب :ریاضیات، حساب، دنباله،

مفهوم دنباله
تعریف دنباله
دنباله حقیقی
نمودار یک دنباله
جمله عمومی یک دنباله
رابطه بازگشتی و دنباله بازگشتی
همچنین ببینید

مفهوم دنباله

مجموعه اعداد زوج طبیعی را در نظر بگیرید

اولین عضو این مجموعه عدد 2 است و n امین عضو آن 2n است.
حال مجموعه اعداد طبیعی را در نظر بگیرید:

با کمی دقت متوجه می‌شویم که می‌توان یک تابع یک به یک از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج تعریف نمود که در عضو از مجموعه اعداد طبیعی را به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر کند.(مانند شکل)

اگر این تناظر را به صورت مجموعه زوج های مرتب بنویسیم خواهیم داشت:

متوجه می‌شویم تابع f از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج، تابعی است یک به یک که هر عضو از دامنه خود را دو برابر می‌کند و به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر می‌کند و می‌توان چنین ضابطه‌ای برای آن تعیین نمود:

حال در مثالی دیگر تابع

را در نظر بگیرید. بیاید بجای اینکه به جای متغیر تابع عددی حقیقی قرار دهیم، متغیرهای طبیعی را جایگزین کنیم. در این صورت داریم:

ادامه مطلب

نظرات ()

تابع دیریکله

سه شنبه 27 دی 1390

نوع مطلب :ریاضیات، حساب، تابع،

تابع دیریکله(Dirichlet Function)

اگر c و d دو عدد حقیقی متمایز باشند آنگاه تابع دیریکله را چنین تعریف می کنند:

img/daneshnameh_up/5/58/DirichletFunction.gif

این تابع چندضابطه‌ای را با نماد (D(x نشان می دهند و معمول ترین و صورت آن حالتی است که C=1 و ‌d=0 باشد که در این صورت تابع دیریکله به این صورت تعریف می شود:

تعریف فوق از تابع دیریکله را همچنین می‌توان با استفاده از آنالیز ریاضی به این صورت نشان داد:

به عنوان مثال:
اگر x=2 باشد آنگاه:

و اگر به جای x عدد پی که گنگ است را قرار دهیم:

اما چون

لذا تابع دیریکله را می‌توان به عنوان تابع مشخصه اعداد گویا در مجموعه اعداد حقیقی در نظر گرفت.
از جمله ویژگی های مهم تابع دیریکله این است که در هیچ نقطه و بازه ای دارای حد نمی‌باشد، پیوسته و انتگرال پذیر هم نمی‌باشد.. به این ترتیب نموداری از آن نمی‌توان رسم کرد.

نظرات ()

تابع علامت

یکشنبه 27 آذر 1390

نوع مطلب :ریاضیات، حساب، تابع،

تابع علامت:

تابع

با ضابطه زیر را تابع علامت می گوییم:

لازم به ذکر است که این تابع را با نماد

نشان می دهند که نماد آن از واژه انگلیسی sign اقتباس شده است که ریشه اصلی آن، از واژه یونانی signum به معنای علامت است.
همچنین ضابطه این تابع را برای X های مخالف صفر می توان اینگونه تعریف کرد:

در این تابع دامنه مجموعه اعداد حقیقی است

و برد این تابع برابر است با:

.
این تابع از معروف ترین توابع چند ضابطه ای است که نحوه عملکرد آن به این صورت است:

اگر متغییر x داده شده به تابع مثبت باشد آن را به عدد یک و اگر متغییر x داده شده به تابع منفی باشد آن را به منفی یک متناظر می کند و اگر متغییر داده شده x=0 باشد آن را به عدد صفر متناظر می کند. به عبارت دیگر این تابع هر عدد حقیقی مثبت را به یک، هر عدد حقیقی منفی را به منفی یک متناظر می کند و عدد صفر را هم به صفر متناظر می کند.
نمودار پیکانی زیر نحوه عملکرد تابع علامت(sgn) را نشان می دهد:

با توجه به ضابطه این تابع نمودار آن به این صورت خواهد بود:

بررسی ویژگی های تابع علامت

تابع علامت تابعی فرد است.

برهان: تابع

را در نظر بگیرید:

که این نشان می دهد این تابع فرد است. همچنین نمودار این تابع نسبت به مبدا مختصات متقارن است که دلیل بر فرد بودن تابع است.

تابع علامت تابعی غیر یک به یک است.

برهان: در توابع چند ضابطه ای شرط اولیه برای یک به یک بودن تابع این است که هر ضابطه یک به یک باشد اما مشاهدی می شود در مورد تابع علامت این شرط برقرار نمی باشد. پس این تابع یک به یک نمی باشد.

تابع علامت تابع پوشا است.

برهان: می دانیم در بررسی پوشا بودن توابع چند ضابطه ای به این صورت عمل می کنیم که برد هر ضابطه را محاسبه کرده اجتماع آنها را بدست می آوریم. اگر حاصل با مجموعه انجام تابع برابر باشد تابع پوشا است. حال در تابع علامت اجتماع بردهای هر ضابطه برابر با مجموعه

است(چرا؟).
و چون با مجموعه انجام تابع یعنی

برابر است پس این تابع پوشا است.

نظرات ()

تابع ثابت

سه شنبه 24 آبان 1390

نوع مطلب :ریاضیات، حساب، تابع،

تابع ثابت:

تابع

را تابع ثابت می گوییم هر گاه برد آن یک مجموعه تک عضوی باشد. به عبارت دیگر تابع ثابت هر عضو از دامنه خود را تنها به یک مقدار ثابت متناظر می کند.
پس ضابطه تابع ثابت f از مجموعه A در مجموعه B را می توان به این صورت نوشت

که در آن c مقداری ثابت و همان برد تابع f است.
به عنوان مثال تابع

یک تابع ثابت است که هر عضو از دامنه خود(مجموعه اعداد حقیقی) را به عدد ثابت 2 متناظر می کند و عدد دو همان برد تابع است.
نمودار پیکانی زیر نحوه عملکرد تابع ثابت را نشان می دهد:

مشاهده می شود این تابع هر عضو از دامنه(A) خود را به یک مقدار ثابت c متناظر می کند.
به عبارت دقیق تر تابع فوق یک تابع ثابت از مجموعه A به مجموعه تک عضوی {c} است که می توان این مطلب را اینگونه نوشت:
تابع

با ضابطه

به دلیل اینکه در حساب دیفرانسیل و انتگرال معمولا با توابع حقیقی و اعداد حقیقی کار می کنیم تابع ثابت معمولا به این صورت تعریف می شود:

تابع

با ضابطه

را تابعی ثابت می گوییم. این تابع هر عدد حقیقی را به یک مقدار ثابت چون c متناظر می کند.
نمودار تابع یک تابع ثابت همواره یک خط موازی محور X ها است. به عنوان مثال نمودار تابع ثابت

به این صورت است:

ادامه مطلب

نظرات ()

توابع زوج و فرد

شنبه 21 آبان 1390

نوع مطلب :ریاضیات، حساب، تابع،

توابع زوج و فرد:

فرض کنید f تابعی با دامنه

با شد و برای هر

آنگاه

باشد(در اصطلاح دامنه تابع f متقارن باشد). در این صورت:

تابع f را زوج می گوییم هرگاه:
تابع f را فرد می گوییم هرگاه:

اگر هیچ یک از شرایط فوق برقرار نباشد تابع را نه زوج و نه فرد می گوییم.

توجه کنید که شرط اولیه اینکه تابعی بتواند زوج یا فرد باشد این است که دامنه اش متقارن باشد یعنی:

و اگر شرط فوق برقرار نباشد در مورد زوج یا فرد بودن تابع بحث نمی شود.(چرا؟)
به عنوان مثال تابع

تابعی است نه زوج و نه فرد چرا که دامنه اش برابر است با

که متقارن
نمی باشد چون 1- عضو دامنه بوده ولی 1 عضو دامنه نمی باشد و شرط اولیه برای زوج یا فرد بودن تابع برقرار نمی باشد.

به عنوان مثال تابع

تابعی زوج است چرا که اولا وامنه اش مجموعه اعداد حقیقی بوده پس متقارن است و همچنین داریم:

و همچنین تابع

تابعی فرد است چرا که دامنه اش مجموعه اعداد حقیقی بوده و متقارن است و همچنین:

تابع

هم تابعی نه زوج و نه فرد است زیرا:(البته شرط اولیه یعنی متقارن بودن دامنه برقرار است)

که در هیچ یک از شراط تابع زوج یا فرد صدق نمی کند.

ادامه مطلب

نظرات ()

تابع همانی

چهارشنبه 18 آبان 1390

نوع مطلب :ریاضیات، حساب، تابع،

تابع همانی:

می دانیم یک رابطه همانی روی مجموعه A رابطه ای است که برای هر عضو از مجموعه A چون a تنها شامل زوج مرتب

باشد و هیچ زوج مرتبی با مولفه های متمایز نداشته باشد. این رابطه را به این صورت تعریف می کنیم:

این رابطه روی مجموعه A یک تابع است که به آن تابع همانی می گوییم. این تابع هر عضو از دامنه خود را به خودش متناظر می کند. اگر f تابعی همانی از مجموعه A در A باشد، آن را به این صورت تعریف می کنیم:

پس ضابطه تابع همانی

به این صورت است:

اثبات تابع بودن رابطه همانی:
اگر f رابطه همانی روی مجموعه A به صورت مقابل باشد:

برای اثبات تابع بودن این رابطه کافی است نشان دهیم:

واضح است که:

پس این رابطه تابع است.

از آنجا که معمولا در حساب دیفرانسیل و انتگرال با اعداد حقیقی و توابع حقیقی کار می کنیم معمولا تعریف زیر را برای تابع همانی استفاده می کنیم:

تابع

را با ضابطه

تابع همانی می گوییم.
نمودار این تابع بسته به دامنه تابع می تواند نیمساز ربع اول و سوم یا قسمتی از آن باشد.
اگر دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی باشد نمودار این تابع نیمساز ربع اول و سوم خواهد بود که در زیر نمودار آن را مشاهده می کنید:

ادامه مطلب

نظرات ()

تابع یک به یک و پوشا

یکشنبه 15 آبان 1390

نوع مطلب :ریاضیات، حساب، تابع،

دید کلی:

تابع f:x→y را در نظر می گیریم. منظور از تابع f، تصویر قلمرو آن است. یعنی مجموعه f(x)={f(x)│
معمولا تصویر تابع f:x→y را با نماد Im(f) نشان می دهند: بنابراین داریم: Im(f)=f(x)
به عنوان مثال، اگر تابع f، تصویر جانور x به وسیله نور آفتاب بر روی دیوار y باشد، آنگاه تصویر تابع f یعنی Im(f) برابر سایه جانور بر روی دیوار خواهد بود.
در حالت کلی، در مورد تابع دلخواه f(x), f:x→y معمولا با y براتبر نیست. مثلا درمثال تصویر جانور x به وسیله نور آفتاب بر روی دیوار y، سایه جانور یعنی f(x) معمولا نباید تمام دیوار را بپوشاند. البته امکان دارد که برای تابعی داشته باشیم.
در این حالت f را تابعی از مجموعه x به روی مجموعه y یا به طور خلاصه f را پوشا می نامیم.

تعریف تابع پوشا

تابع f:x→y را پوشا می نامیم اگر تنها f(x)=y

تعریف کلی برای تابع پوشا یا تابع در روی مجموعه ها:

گیریم f تابعی است که ناحیه تعریف آن x و ناحیه مقصد آن y باشد، یعنی تصویر x به توی y باشد:
در اینصورت مقادیر این تابع که آن ما با f(x) نشان می دهیم، یک زیر مجموعه ای است از مجموعه y ، یعنی f(x) cy یعنی اگر ناحیه مقصد y و ناحیه مقادیر تابع f(x) یکسان باشند، در اینصورت f تابعی از x در روی y است یا f "x را در روی y تصویر می کند". یا به طور ساده گویند f یک تابع پوششی است.
در این حالت از تابع هریک از عناصر ناحیه مقصد، افلا تصویر یکی از عناصر ناحیه تعریف تابع (x) می باشند.

مثالی از تابع پوشا:

1) تابع جز صحیح Ө:R→Z از مجموعه اعداد حقیقی به مجموعه اعداد صحیح که هر عدد حقیقی x را به جز صحیح x نظیر می کند.
Ө(x)=x
پوشاست. ولی تابع قدر مطلق α:R→R از مجموعه اعدادحقیقی به خودش که هر عدد حقیقی x را به قدر مطلق آن نظیر می کند.
Α(x)=│x│
پوشا نیست. چون اگر منحنی تابع قدر مطلق را رسم کنیم این منحنی فقط اعداد حقیقی مثبت را شامل میشود که با تعریف تابع قدر مطلق که تمام اعداد حقیقی را شامل میشود تناقص دارد. پس تابع قدر مطلق پوشا نیست.

ادامه مطلب

نظرات ()

مفهوم تابع

پنجشنبه 12 آبان 1390

نوع مطلب :ریاضیات، حساب، تابع،

دید کلی

مفهوم تایع یکی از مهم ترین مفاهیم علم ریاضی بوده و به همان اندازه در ریاضی اهمیت دارد که مفهوم مجموعه دارد. اغلب، می گویند تابع، کمیت متغیری است که از کمیت متغیر دیگر تبعیت می کند. برای توزیع "معمولی"، مانند:

Y=sinx ,y=x2 , y=a+bx

والی آخر، این تعریف کاملا مناسب می باشد. ممکن است اگر توابع دیگری، مانند: y=sin2x+cos2x

را در نظر بگیریم، می بینیمی که مقادیر آن تابعه دیگر تغییر نمی کند و بنابراین دیگر کمیت متغیری که از کمیت x تبعیت کند، وجود نداد.
! تعریف تایع:
تناظری که به هر عنصر x از یک مجموعه x فقط و فقط یک عنصر y از یک مجموعه y رانسبت را دهد، تایع گویند. توابع را با حروف f یا حروف کوچک خطی لاتین نشان می دهیم.

مفهوم تابع از دیدگاه دیگری

از طرفی، تحت عنوان کمیت "چیزهایی" را در نظر می گیرند که آنها همه با هم قابل مقایسه باشند. یعنی "چیزهایی که" بین آن ها روابط "بیشتر" و "کم تر" و.جود دارد.
در صورتی که در ریاضیات، توابعی نیز مطالعه می شود که برای آنها این روابط تعیین نشده است، مثلا به عنوان مثال از اعداد کمپلکس (مختلط) یا به طور کلی از عناصر یک مجموعه دلخواه می توان اسم برد. توجه دقیق نشان می دهد که در مفهوم تابع وابستگی تغییرات به تغییرات متغیر مستقل آنم اندازه مهم نیست که تناظر بین مقادیر متغیر مستقل و مقادیر تابع مهم می باشد. به خصوص اگر به خاطر بیاوریم که تمامی اطلاعات راجع به تابع، می تواند از بیان گرافیکی آن استخراج گردد، و در نتیجه نباید فرض بین بیان گرافیکی تابع و خود تابع قائل شده و از طرفی
رافیک تابع مجموعه نقاطی است که هر یک از آن ها با دو مختصات y,x یعنی با (x,y) مشخص میگرند. بدین ترتیب به نظر می رسد که در تعریف تابع، مناسب است از آن خصوصیات مجموعه زوج های مرتب استفاده گردد که ویژه گرافیک تابع باشند.

ادامه مطلب